Origin of Geometry

Geometri berasal dari bahasa Yunani  geōmetrein yang memiliki arti mengukur bumi. Bapak dari geometri yaitu Euclid atau Eukleidēs (sekitar 325 SM – sekitar 265 SM) dalam tulisannya “The Element” yang menjadi referensi utama dalam bidang geometri hingga abad ke – 20 menjelaskan mengenai Geometri yang kini dikenal dengan Euclidean geometry. Sekitar 2000 tahun setelah dibuatnya “The Element” geometri mengalami perkembangan dimana pada abad ke – 19 muncul non-Euclidean geometry. Dengan perkembangan yang terjadi, apakah obyek ilmu geometri tetap bumi, dimensi ruang dan waktu, atau ada obyek lain yang menjadi dasar pembelajaran dari ilmu geometri.

Geometri yang pertama kali dikenalkan oleh Euclid yang kini dikenal dengan Euclidean geometry adalah sebuah cabang ilmu dalam matematika yang mempelajari bentuk n-dimensi (gambar 1a). Sedangkan non-Euclidean geometry mempelajari bentuk yang tidak lurus melainkan melengkung (gambar 1b).

 

Pada abad ke-19 Felix Klein Erlangen mendefinisikan obyek geometri sebagai sesuatu yang tidak berubah saat dilakukan sebuah sistem transformasi pada obyek tersebut. Pendekatan yang dilakukan Klein pada geometri ini menjadi dasar matematika dan fisika pada abad ke-20. Sesuatu yang tak berubah seperti apakah yang dimaksud oleh Klein? Pada buku “Shape as Memory a Geometric Theory of Architecture” karangan Michael Leyton dijelaskan bahwa dasar dari geometri Euclid adalah gagasan bentuk kongruen. Sebuah bentuk kongruen dengan bentuk lainnya jika saat ditransformasi bagian – bagian pada bentuk tersebut letaknya saling bertepatan. Misalnya terdapat 2 buah segitiga (gambar 2a) dan untuk membuktikan kedua segitiga tersebut kongruen atau tidak maka harus dilakukan sebuah transformasi dalam hal ini rotasi. Saat kedua segitiga bertemu (gambar 2b), kedua segitiga letak setiap elemennya saling bertepatan dan tak terjadi perubahan pada bentuknya dimana segitiga tersebut tetap memiliki tiga sisi dan sudut yang sama besar hanya saja arahnya yang kini telah berubah yaitu segitiga yang sebelumnya mengarah ke atas kini mengarah ke bawah.

 

Perubahan arah yang berhubungan dengan waktu cenderung bagian dari ilmu fisika relativitas dimana perubahan waktu dan pengamat suatu bentuk akan berpengaruh pada bentuk bangun yang menimbulkan geometrization of physic. Ilmu tersebut merupakan pengembangan program geometri Klein namun saya simpulkan bukan bagian dari geometri karena obyek geometri, tetap berpatokan pada definisi Klein, adalah bagian sisi dan sudut segitiga yang tidak berubah. Sesuatu yang tidak berubah saat dilakukan sebuah sistem transformasi pada obyek tersebut.

Referensi

Leyton , Michael. 2006.  Shape as Memory a Geometric Theory of Architecture. Birkhäuser:Basel

http://www.merriam-webster.com/dictionary/geometry

Munculnya Euclidean Geometry

Geometry based on the postulates of Euclid, especially the postulate that only one line can be drawn through a given point parallel to a given line. (Visual Dictionary of Architecture and Construction, Broto I Comerma, 2007)

Ageometry in which Euclid’s fifth postulate holds, sometimes also called parabolic geometry. Two-dimensional Euclidean geometry is called plane geometry, and three-dimensional Euclidean geometry is called solid geometry. (Weisstein, Eric W. “Euclidean Geometry.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EuclideanGeometry.html)

Sejak zaman Renaissance sampai abad 900, seni dan matematika terus mengalami perkembangannya, terutama mengenai perspektif dan simetri.

Pada masa itu, seni didominasi oleh perspektif yang mewakili ruang sebagai sesuatu yang dilihat oleh mata atas dasar Euclidean. Geometri Euclidean muncul sebagai paradigma untuk mewakili ruang dan dianggap sebagai bentuk/struktur geometris yang ada di alam. Merunut kepada tulisan Galileo Galilei dalam bukunya “Il Saggiatore”: “Semesta tidak dapat dipahami tanpa mengetahui bahasa tertulis yang ada, bahasa ini adalah Matematika dan karakternya berupa segitiga dan lingkaran”. Gagasan tentang sebuah dunia yang ideal dalam Euclidean entah bagaimana kontras dengan kenyataan bahwa “visi menunjukkan garis paralel untuk berkumpul di suatu tempat” (seperti yang sudah dikenal sebagai Euclid dalam tulisan tentang Optik) (Popovici, 2010). Dari sini tampak bahwa kebutuhan pelukis untuk mewakili dunia tiga dimensi pada masa itu hanya bisa dilukiskan dalam dua dimensi dan akhirnya muncullah Geometri proyektif, di mana ruang dapat diganti menjadi ruang proyektif yang mencakup semua garis tak terhingga.

Dalam Geometri yang baru, ruang Euclidean masih dengan karakter garis lurus dan lingkaran yang mendominasi tetapi berakhir pada titik tak terhingga. Dari sini saya melihat bahwa gambar proyektif membantu para seniman dan matematikawan pada masa itu untuk  menghasilkan gambaran yang lebih real, lebih 3 dimensional dibandingkan pada gambaran yang mengikuti aturan euclidean geometry. Sehingga muncullah teori non-euclidean geometry.

Pada saat yang sama, keindahan dan harmoni terus mendominasi seni dan menjadi lebih penting sehingga muncullah gagasan kesimetrisan. Karya arsitektural yang indah diukur melalui kesimetrisan dan menjadi perbincangan. Sampai pada akhirnya, Matematika menempatkan bahasan Postulat V dan secara bertahap menemukan “Non-Euclidean Geometri” dimana kelengkungan menjadi ukuran non-linearitas. Ternyata munculnya istilah euclidean geometry seiring dengan pemikiran mengenai perspektif dan simetri. Dari pikiran dasar para seniman dn matematikawan mengenai bentuk-bentuk 2 dimensional hingga ke bentuk 3 dimensional.

Dictionary:
Plane Geometry: The branch of geometry that studies figures whose parts all lie in one plane
Surface: Any two dimensional figure, or that part or aspect of a body considered without depth, on the plane
Angle: The space between two straight lines diverging from the same point; measured in radian or in degrees, minutes and seconds.
Triangle: A polygon with three sides

Dimensi Keempat

Tahukah kalian, darimana awal mula pernyataan dimensi keempat tercipta? Teori tersebut muncul dari system Euclidean dan non Euclidean.

“Bayangkan jika kita ingin bepergian dari New York ke Madrid, dua kota yang berada pada garis lintang yang hampir sama. Jika bumi ini datar, rute terpendek akan berupa garis lurus ke timur. Jika kita melakukan demikian, kita akan tiba di Madrid setelah menempuh jarak 5931 km. Namun karena lengkungan bumi, ada jalur yang pada peta datar terlihat melengkung sehingga lebih panjang, tetapi sebenarnya lebih pendek. Kita bisa menempuh 5768 km bila mengikuti rute lingkaran-akbar, yang awalnya mengarah ke timur laut lalu sedikit demi sedikit membelok ke timur lalu ke arah tenggara. Selisih jarak antara dua rute ini disebabkan oleh kelengkungan bumi, tanda dari geometri non-Euclidean.”

Dalam teori Euclidean dan non-euclidean, terdapat istilah koordinat untuk menentukan posisi titik, garis, bidang, hingga ke dalam ruang. Seorang jenius bernama Einstein selanjutnya mengembangkan ilustrasi lengkungan ruang dan waktu dalam relativitas berdasarkan postulat non Euclidean. Di dalamnya, interaksi tubuh, yang sampai sekarang telah dianggap berasal dari gaya gravitasi, dijelaskan sebagai pengaruh badan pada geometri ruang-waktu (dimensi ruang empat, sebuah abstraksi matematis, memiliki tiga dimensi ruang dan waktu Euclidean sebagai dimensi keempat).

Konsep teori relativitas

• Teori relativitas umum Einstein-Teori yang lebih luas, dengan memasukkan graviti sebagai fenomena geometris dalam sistem koordinat ruang dan waktu yang melengkung, juga dimasukkan kerangka acuan non inersia (misalnya, percepatan).

Berkat hasil kerja Einstein, fisikawan menyadari bahwa dengan menetapkan kecepatan cahaya sama untuk semua kerangka acuan, teori Maxwell mengenai kelistrikan dan kemagnetan mengajarkan bahwa waktu tak dapat dipisahkan dari ruang tiga dimensi. Alih-alih, waktu dan ruang saling berjalinan. Ini seperti menambahkan arah keempat berupa masa depan/masa lalu pada tiga arah biasa yaitu kiri/kanan, maju/mundur, dan atas/bawah. Fisikawan menyebut perpaduan antara ruang dan waktu dengan “ruang-waktu.” Nah, karena ruang-waktu berisi arah keempat, mereka menyebutnya dimensi keempat. Dalam ruang-waktu, waktu tidak lagi terpisah dari ruang tiga dimensi. Sebagaimana definisi kiri/kanan, maju/mundur atau atas/bawah bergantung pada orientasi pengamat, demikian pula arah waktu juga bervariasi bergantung pada kecepatan pengamat. Pengamat-pengamat yang bergerak dengan kecepatan yang berbeda akan memilih arah waktu yang berbeda pula dalam ruang-waktu. Karena itu teori relativitas khusus Einstein menjadi model baru yang membuang konsep waktu mutlak dan diam mutlak.

Cara yang baik untuk melukiskan kelengkungan adalah memikirkan permukaan bumi. Meskipun permukaan bumi hanya dua dimensi (karena hanya dua arah di sepanjang permukaan, seperti utara/selatan dan timur/barat), saya akan memakainya sebagai contoh sebab ruang dua-dimensi lengkung lebih mudah digambarkan daripada ruang empat-dimensi lengkung (spherical). Geometri dari ruang lengkung seperti permukaan bumi bukanlah geometri Euclidean yang kita kenal. Contohnya, pada permukaan bumi, jarak terpendek dari dua titik – yang kita kenal sebagai garis dalam geometri Euclidean – adalah jalur yang menghubungkan dua titik di sepanjang apa yang disebut lingkaran-akbar. (lingkaran akbar adalah lingkaran di sepanjang permukaan bumi yang titik pusatnya sekaligus adalah pusat bumi. Khatulistiwa adalah contoh lingkaran-akbar, sehingga sembarang lingkaran didapat dengan memutar-mutar khattulistiwa di sepanjang diameter-diameter yang berbeda-beda.)

Menurut hukum gerakan Newton, benda-benda seperti meriam dan planet bergerak pada garis lurus kecuali dikenai gaya terhadapnya, misalnya gravitasi. Namun gravitasi, pada teori Einstein, bukanlah gaya sebagaimana gaya-gaya yang lain; namun, gravitasi merupakan akibat dari massa yang menarik-narik ruang-waktu, sehingga tercipa kelengkungan. Menurut teori Einstein, benda bergerak dalam geodesic, yaitu bentuk terdekat dengan garis lurus pada ruang lengkung. Garis adalah geodesic pada ruang datar dan lingkaran akbar adalah geodesic pada permukaan bumi. Bila tidak ada materi, geodesic dalam ruang-waktu empat-dimensi sesuai dengan garis pada ruang tiga-dimensi. Namun ketika materi ada, menarik-narik ruang-waktu, jalur benda pada lengkungan permukaan tiga-dimensi sedemikian hingga sebagaimana pada teori Newton dijelaskan sebagai tarikan gravitasi. Ketika ruang-waktu tidak datar, jalur benda terlihat bengkok, sehingga terkesan ada gaya yang sedang bekerja pada jalur itu.

referensi:

The Grand Design karya Hawking & Mlodinow

Euclidean = Proyeksi non-Euclidean

Ketika saya belajar geometri di bangku sekolah, saya mengenal bahwa segitiga itu adalah bentuk dua dimensi yang terdiri dari 3 garis dan memiliki jumlah sudut 180 derajat. Lalu, ketika saya mengikuti kuliah geometri mengenai euclidean dan non-euclidean beberapa pekan lalu, pemikiran saya tetang ke-180 derajat-an segitiga itu diputarbalikkan sebesar 180 derajat. Seakan geometri ketika saya bersekolah itu berbeda dengan geometri di arsitektur.

Euclidean berbicara tentang bidang planar atau datar. Sehingga, dalam euclidean, garis lurus dapat digambarkan dengan menarik garis dari satu titik ke titik yang lain. Dengan demikian, ketika saya mempertemukan 3 garis lurus dengan 3 titik sudut maka akan terbentuk sebuah bidang yang jumlah sudutnya pasti 180 derajat. Itulah si segitiga saya yang saya kenal sejak sekolah, si segitiga 180 derajat. Tetapi, kemudian saya dipertemukan dengan istilah non-euclidean dimana di sini kita tidak berbicara tentang sesuatu yang datar lagi. Tidak ada lagi yang namanya garis lurus. Tidak ada lagi si segitiga 180 derajat. Segitiga itu seperti diperbesar dan nemplok pada permukaan bumi kita (yang tidak datar melainkan cembung). Maka, yang ada bukan lagi si segitiga 180 derajat, tetapi bisa menjadi segitiga 270 derajat atau mungkin lebih ataupun mungkin juga kurang, kita namakan saja dia si segitiga nemplok .

Geometri merupakan suatu ilmu mengukur bumi. Bumi kita bulat, tidak datar. Dan itu sudah terbukti dengan penjelajahan para tetua kita di masa lampau. Tak perlu disangkal lagi. Kalau begitu, teori non-euclidean benar karena tidak berbicara dalam bidang datar? apakah segitiga 180 derajat itu salah, karena sebenarnya tidak ada garis lurus di bumi ini?? Lalu buat apa saya susah-susah belajar tentang segitiga 180 waktu sekolah? Dan apakah benar jika adik saya yang masih duduk di bangku sekolah bertanya berapa jumlah sudut segitiga dan saya menjawab 270 derajat? Hmm..saya rasa tidak. Pasti guru matematikanya akan marah-marah. Lagian, toh selama inipun, dalam merancang yang saya temukan tetap si segitiga 180 derajat, bukan si segitiga nemplok. Terus, kasihan sekali si segitiga nemplok yang seharusnya benar, tapi malah dianggap salah. Kedua sudut pandang ini memiliki sisi kebenaran dan kekurangan masing-masing.

Dari sini, sayapun mencoba untuk melihat kedua sudut pandang ini (euclidean dan non-euclidean) bukan dari siapa yang benar dan salah, tetapi bagaimana hubungan yang satu dengan yang lain. Saya beranggapan bahwa si segitiga 180 merupakan sebuah proyeksi si segitiga cembung yang terbaca oleh mata manusia. Dengan keterbatasan jarak pandang manusia dan sistem kerja bumi dan segala isinya, maka bumi yang sebenarnya bulat terlihat datar oleh mata manusia. Hal-hal yang data inilah yang kemudian terus dipelajari oleh manusia dalam peradabannya, termasuk dalam perhitungan matematika, yang akhirnya menghasilkan si segitiga 180, yang kemudian menghantarkan manusia pada ilmu arsitektur. Jadi, kalau sekarang ini, kita merancang sesuatu dengan menggunakan garis lurus dan mewujudkannya di bumi ini, maka sebenarnya kita juga telah membangun bangunan yang sifatnya non-euclidean, hanya saja kita tidak dapat menangkapnya dalam mata kita, hanya Tuhan yang dapat melihatnya, dan mungkin para astronot yang sedang menjelajahi luar angkasa (entahlah, saya tidak pernah pergi ke luar batas atmosfer bumi). Dengan demikian, sekarang saya dapat simpulkan bahwa tidak ada yang salah dan benar antara euclidean dan non-euclidean, mereka adalah dua hal yang saling menggambarkan. Euclidean = proyeksi non-euclidean.

Which One is Geometry?

Pada awal saya mempelajari arsitektur geometri, saya berpikir bahwa geometri itu adalah bentuk-bentuk yang simetri , bentuk-bentuk dasar seperti lingkaran, persegi, segitiga dll. Terkait dengan hal tersebut, pada Euclid’s Postulate disebutkan bahwa ada unsur-unsur point, line, angle dan parallel straight line, dan jika kita melihatnya dari sudut pandang Euclid geometry maka akan kita dapatkan salah satunya adalah bahwa sudut segitiga itu adalah 180⁰. Namun pernyataan tersebut kemudian ditinjau lagi apakah benar demikian, beberapa tokoh mencoba untuk melakukan beberapa eksperimen seperti Nicolai Lobachevsky (1793–1856) yang mempertimbangkan jarak astronomi untuk sudut segitiga ini dan ia mendapatkan hasil bahwa sudut segitiga yang selama ini dinyatakan 180⁰adalah ukuran yang salah. Dan Henri Poincaré (1854–1912) yang juga turut mempertanyakan kebenaran dari pernyataan tersebut mengemukakan bahwa pengukuran yang dilakukan tersebut melihat dari bentuk fisik bumi dan jarak yang dilihat. Menurutnya ‘Euclidean geometry is generally used in surveying, engineering, architecture, and navigation for short distances; whereas, for large distances over the surface of the globe spherical geometry is used’
Dari hasil eksperimen tersebut maka muncullah spherical geometry yang tidak lagi menyatakan bahwa sudut segitiga itu bisa lebih besar atau mungkin kurang dari 180⁰.
Munculnya hal ini karena ada sudut pandang dan konteks yang berbeda ketika melihatnya, lalu sebenarnya yang menjadi pertanyaan adalah ketika kita membicarakan geometry itu kita mengacu pada yang mana? Euclid’ postulate atau non Euclid yang termasuk didalamnya adalah spherical geometry atau kita dapat mencakup semuanya. Tetapi menurut saya dari pernyataannya Poincare bahwa jika kita membicarakan dari segi arsitektur maka kita mengacu pada euclid geometri karena kita melihatnya dalam jarak dekat atau pada intinya mana yang dapat dikatakan geometri yang sebenarnya?