there’s something about geometry + architecture

March 28, 2016

Learning from Spirograph: The Logic and Beauty in Cycloids Geometry

Filed under: Uncategorized — tafiasabilaa @ 11:18

Tafia Sabila Khairunnisa, 1306412880

Postulat  Euclidean ini merupakan titik awal digagasnya non-euclidean geometry yang disempurnakan oleh Klein pada 1871 dengan menyatakan bahwa pada dasarnya terdapat tiga tipe geometri, yaitu:

  • Where straight lines have two infinitely distant points (Bolyai and Lobachevsky)
  • Where lines have no infinitely distant points (The Riemann ‘spherical’ geometry)
  • Where for each line there are two coincident infinitely distant points (Euclidean Geometry)

Teori ini mengundang beberapa pertanyaan di pikiran saya:

  • Bagaimana jika yang ditarik adalah satu garis lurus pada suatu spherical surface, apakah benar garis tersebut akan selalu berakhir kembali di titik awalnya?
  • Dan jika iya, butuh sepanjang apakah garis tersebut untuk bisa sampai kembali ke titik pertama, butuh berapa kali putaran untuk dapat kembali ke titik asal? Jika 1 kali putaran, apakah sebenarnya garis tersebut terdiri atas satu garis tunggal atau sebenarnya merupakan sekumpulan garis-garis?
  • Geometri non Euclidean seperti apa yang akan terbentuk dan bagaimana geometri itu terlihat secara 2d ataupun 3d?

Secara sederhana untuk dapat membuktikan apakah sebuah garis yang ditarik dari suatu titik pada suatu permukaan spherical akan kembali lagi ke titik asalnya adalah dengan meng-intersect permukaan spherical tersebut dengan suatu permukaan datar. Hasil yang didapat tentu akan menunjukkan bahwa garis tersebut akan kembali ke titik awalnya karena pada kasus ini garis ditarik dalam dua batasan arah, yaitu mengikuti arah permukaan spherical dan juga arah permukaan datar. Pada dasarnya. ia merupakan garis perpotongan antara spherical dan bidang datar yang menghasilkan bentuk Euclid lingkaran. Dalam hal ini, hanya butuh 1 putaran untuk dapat kembali ke titik asal.

000

Kemudian bagaimana jika garis yang ditarik tidak berada dalam batasan arah apapun? Parameter apa yang kemudian menentukan berapa banyak putaran yang harus dilalui untuk kembali ke titik asal? Pertanyaan yang berkaitan dengan pertanyaan ke dua, tiga, dan empat ini kemudian membawa saya pada suatu fakta bahwa ternyata dalam non-euclidean geometri, terdapat sebuah series geometri cycloids yang bisa dipelajari melalui permainan anak Spirograph.

Apa itu Spirograph? Spirograph adalah alat permainan yang berbasis logika matematika dengan satu lingkaran besar sebagai basis frame fix dan lingkaran yang lebih kecil dengan serangkaian lubang ditengahnya sebagai basis frame yang berputar. Bentuk cycloid diperoleh dengan menarik garis di dalam salah satu lubang kecil yang tersedia dan memutarnya mengikuti frame lingkaran yang lebih besar. Logika permainan ini sama seperti pada roda sepeda yang berputar. Apabila sebuah garis ditarik dari titik tertentu di roda sepeda yang berputar, dan titik tersebut mengalami perpindahan mengikuti putaran roda, maka kurva yang akan dihasilkan akan terlihat seperti berikut.

6a00e553a80e10883401a511842ec8970c-500wi

cycloid

 

Dalam Spirograph, melainkan berputar pada alur lurus, path yang ditempuh adalah circular. Hasil cycloid yang terbentuk bergantung pada beberapa parameter, yaitu:

  • Jari-jari lingkaran 1 [R]
  • Jari-jari lingkaran 2 [r]
  • Jarak lubang (P) terhadap pusat lingkaran 2 (M) [a]
  • Posisi lingkaran 2 terhadap lingkaran 1

Berikut ini adalah cycloid series (non-euclidean geometry) yang terbentuk:

Geometri Hypocycloid, terbentuk ketika lingkaran 2 (kecil) berada di dalam lingkaran 1 (besar)

 

Geometri Epicycloid, terbentuk ketika lingkaran 2 (kecil) berada di luar lingkaran 1 (besar)

Pembentukan geometri cycloids pada Spirograph ini menunjukkan pengetahuan akan keseimbangan/harmony dalam geometri. Cycloid yang terbentuk dari spirograph di atas terjadi secara 2 dimensi (euclid) yang berarti terdapat batasan arah pada permukaan 2 dimensi. Secara 2 dimensi dapat dikatakan bahwa garis yang terbentuk merupakan garis lurus (straight lines) yang menjadi lingkaran seperti yang dinyatakan Euclid pada postulat 3 Euclidean: “Given any straightline segment, a circle can be drawn having the segment as radius and one endpoint as center.” Apabila kurva cycloid dibagi ke dalam segmen-segmen, hal ini juga sesuai dengan postulat 5 yang mengatakan, “If two lines are drawn which intersect a third in such a way that the sum of the inner angles on one side is less than two right angles, then the two lines inevitably must intersect each other on that side if extended far enough.” Akan tetapi perbedaannya di sini ketika dua buah segmen garis diperpanjang, dia akan menyatu (join) satu sama lain, bukan berpotongan (intersect).

Dan berikut adalah contoh aplikasi cycloids secara 3 dimensional:

Secara 3 dimensi, kurva yang ada di cycloids sebenarnya merupakan satu garis lurus (close curve) yang terposisikan secara 3 dimensi pada batasan arah permukaan yang berbeda-beda (bisa tidak terbatas secara arah permukaan).

Satu buah garis circular (lingkaran) pada spherical surface, seperti contoh hasil intersection pertama, jika dilihat secara dekat (zoom) dapat terlihat seolah-oleh terdiri atas banyak garis circular lainnya, padahal yang sebenarnya merupakan cycloid curve yang hanya terdiri atas satu garis.

Jika teman-teman ingin mencoba membuat cycloid geometry secara 2 dimensi, silakan mengunjungi link berikut ini  http://www.mathplayground.com/Spiromath.html

Referensi:

Ryan, Patrick J. Euclidean and Non Euclidean Geometry. UK: Cambridge University Press

Antoniades C, Anthony. 1990. Poetics of Architecture: Theory of Design.New York: Van Nostrand Reinhold

http://www.mathematische-basteleien.de/epizykloide.htm

Spirographs and the third dimension

http://americanhistory.si.edu/blog/2014/03/the-spirograph-and-kinematic-models-making-math-touchable-and-pretty.html

http://www.mathplayground.com/Spiromath.html

 

2 Comments »

  1. Sangat menarik bahwa dulu saya juga pernah memainkan spyrograph dan terkesan dengan keindahan geometri yang dihasilkan oleh spyrograph ini. Menggunakan spyrograph sebagai permainan untuk melatih komposisi geometri sejak dini ini sebenarnya menarik untuk diteliti lebih jauh. Apakah mungkin bahwa penggunaan spyrograph sebagai salah satu metode dalam merancang bisa dilakukan? Selain itu bagaimana hasil dari bentuk geometri dua dimensi spyrograph ini direalisasikan dalam bentuk model tiga dimensi?

    Comment by karenwhrdj — March 28, 2016 @ 15:50

  2. halo karen @karenwhrdj maaf baru jawab, penggunaan spirograph ini dapat dilakukan pada perancangan dengan mengambil bentuk geometri cycloid yang dihasilkan dari spirograph tersebut, referensi dan contoh yang saya temukan sejauh ini baru menunjukkan penerapannya pada aspek 2 dimensi desain seperti ornamen dan detail interior pada arsitektur islam dan arsitektur pada zaman Reinassance. Pada form development sendiri, penggunaan geometri cycloid yang lebih kompleks belum benar-benar diterapkan sehubungan dengan keterbatasan dan ketidakefisienan teknologi (difficult in mathematical management), akan tetapi kurva cycloid sederhana sudah pernah diaplikasikan oleh arsitek Louis Kahn pada Kimbell Art Museum. Di sini geometri cycloid diaplikasikan pada bagian ceiling/atap. Pada awalnya, geometri cycloid digunakan di sini bukan karena structural reason melainkan murni karena kebutuhan pencahayaan (lighting) ruang karena bentuk kurva seperti ini menghasilkan difraksi/pemantulan cahaya yang sangat baik untuk museum dan global volume dr bangunan itu sendiri. Akan tetapi pada akhirnya bentuk cycloid ini dintegrasikan structurally pada bangunan (bagian atap) sehingga terbentuk seperti Vaults. Contoh lain dr penggunaan cycloid pada arsitektur adalah pada Hopkins Centre for The Arts. Realisasi bentuk cycloid secara 3 dimensi contohnya sudah saya lampirkan di post di atas, terima kasiih karenn maaf jika belum jelas silakan ditanyakan lagi🙂

    sumber: Structures and Architecture: New concepts, Applications and Challenges. (Paulo J. Da Sousa Cruz,2013 pg.915)

    Comment by tafiasabilaa — April 3, 2016 @ 21:07


RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Create a free website or blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: