there’s something about geometry + architecture

June 12, 2016

Regular Polytopes in Four-Dimensional Space

Filed under: Uncategorized — kevinromariodharmasena @ 19:38

download

Selama ini kita mengenal bentuk-bentuk platonic solids sebagai kelima bentuk yang menjadi basis bentuk ruang sempurna, namun apa yang membuat kelima bentuk tersebut disebut platonic solids? Apakah bentuk sempurna atau bentuk platonis juga terdapat di ruang dengan dimensi lebih tinggi? Berapa banyak bentuk-bentuk platonis di dimensi lebih tinggi?

Pertama-tama, bentuk-bentuk platonic solids di atas terbuat dari bentuk-bentuk platonis dua dimensional, yakni segitiga sama sisi, segiempat, dan segilima. Semua sisinya sama, dan tidak ada sudut berlebih atau sisi yang tersisa. Bentuk-bentuk lain tidak dapat mencapai konfigurasi seperti kelima bentuk di atas, karena bentuk lain akan menyisakan sudut atau sisi yang berlebih, sehingga tidak menutup ruang secara sempurna.

Lalu bagaimana dengan dimensi-dimensi lain?

Dalam dua dimensi, jumlah polytopes adalah tak hingga. Hal ini dikarenakan ada tak hingga bentuk platonic polytopes dalam ruang dua dimensional, mulai dari segitiga, segiempat, sampai segi mendekati tak hingga. Bentuk-bentuk ini berangkat dari satu-satunya bentuk satu dimensi yaitu garis yang membentuk bentuk-bentuk dua dimensional.

1

Dalam tiga dimensi, jumlah polytopes adalah lima, karena hanya ada lima bentuk yang dapat dibuat sempurna menjadi bentuk tiga dimensional dari bentuk dua dimensional. Mereka adalah tetrahedron, oktahedron, kubus, ikosahedron, dan dodekahedron.

Ketika kita membayangkan bagaimana bentuk dua dimensional menjadi bentuk tiga dimensional, kita seperti membayangkan bagaimana bentuk itu bisa muncul dan lepas dari restriksi dimensi yang mengikatnya. Bentuk platonic solids muncul karena bentuk dua dimensi diangkat, menjadi memiliki tinggi, lebar, dan panjang, dengan sisi-sisi yang memiliki perbedaan sudut dari tiga sumbu, bukan hanya dua sumbu.

Lalu bagaimana kita membayangkan bentuk empat dimensional yang bangkit dari bentuk tiga dimensional?

Kita bisa menganggap kalau bentuk yang ada di dimensi yang kita amati sebagai proyeksi dari bentuk di dimensi sebelumnya. Contohnya, sebuah kubus (tiga dimensi) yang adalah proyeksi dari bentuk persegi (dua dimensi).

Maka dengan memproyeksikan bentuk kubus ke dalam empat dimensional, didapatkan bentuk yang disebut dengan hypercube atau tesseract hypercube. Bentuk ini hanya dapat dijelaskan lewat representasi dan supresi, sama dengan bagaimana bentuk dua dimensi yang diangkat ke tiga dimensi harus memiliki properti tiga dimensi seperti panjang, tinggi, lebar, dan sudut tiga dimensi.

2

3

Bentuk-bentuk lain yang dapat muncul adalah 4-simplex/hypertetrahedron, cross-polytopes/hyperoctahedron, 120-cells/hyperdodecaahedron, 600-cells/hypericosahedron, serta 24-cells.

Dengan demikian, jumlah bentuk platonis pada ruang empat-dimensional adalah enam buah.

(Sumber: https://www.youtube.com/watch?v=2s4TqVAbfz4, http://math.ucr.edu/home/baez/platonic.html)

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: